Question

15．設(shè)函數(shù)y=ax²與函數(shù)y=|$\frac{lnx+1}{ax}$|的圖象恰有3個不同的交點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，$\sqrt{e}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）
• D． （$\frac{1}{\sqrt{e}}$，1）∪{$\frac{\sqrt{3}}{3}$e}

Answer 1

分析 令ax²=|$\frac{lnx+1}{ax}$|得a²x³=|lnx+1|，作出y=a²x³和y=|lnx+1|的函數(shù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)知識求出兩函數(shù)圖象相切時對應(yīng)的a₀，則0＜a＜a₀．

解答 解：令ax²=|$\frac{lnx+1}{ax}$|得a²x³=|lnx+1|，顯然a＞0，x＞0．
作出y=a²x³和y=|lnx+1|的函數(shù)圖象，如圖所示：
設(shè)a=a₀時，y=a²x³和y=|lnx+1|的函數(shù)圖象相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{3{{a}_{0}}^{2}{{x}_{0}}^{2}=\frac{1}{{x}_{0}}}\\{{{a}_{0}}^{2}{{x}_{0}}^{3}=ln{x}_{0}+1}\end{array}\right.$，解得x₀=e${\;}^{\frac{2}{3}}$，y₀=$\frac{1}{3}$，a₀=$\frac{\sqrt{3}e}{3}$．
∴當(dāng)0＜a＜$\frac{\sqrt{3}e}{3}$時，y=a²x³和y=|lnx+1|的函數(shù)圖象有三個交點(diǎn)．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)判斷，借助函數(shù)圖象求出臨界值是關(guān)鍵．