Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2ccosA+a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a+b=2，當(dāng)邊c取最小值時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得：2sinCcosA+sinA=2sinB，從而sinA=2sinAcosC，進(jìn)而cosC=$\frac{1}{2}$，由此能求出C．
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，由a+b=2，得${c}^{2}=4-3ab≥4-3（\frac{a+b}{2}）^{2}$=1，由此能示求出當(dāng)c的最小值為1及S_△ABC．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2ccosA+a=2b．
∴由正弦定理得：2sinCcosA+sinA=2sinB，
∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∵C是三角形的內(nèi)角，∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
∵a+b=2，∴c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=4-3ab，
∴${c}^{2}=4-3ab≥4-3（\frac{a+b}{2}）^{2}$=1（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，等號(hào)成立），
∴當(dāng)c的最小值為1，故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的大小、三角形面積的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、誘導(dǎo)公式、正弦加法定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．