Question

10．定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），且滿足f（x）+f′（x）＜-2，f（1）=2，則不等式e^xf（x）＞4e-2e^x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=e^x•f（x）+2e^x，對(duì)其求導(dǎo)結(jié)合題意分析可得g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；分析可以將不等式e^xf（x）＞4e-2e^x轉(zhuǎn)化為g（x）＞g（1），由函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=e^x•f（x）+2e^x，
則其導(dǎo)數(shù)g′（x）=e^x•f（x）+e^x•f′（x）+2e^x=[f（x）+f′（x）+2]•e^x，
又由f（x）滿足f（x）+f′（x）＜-2，
則有g(shù)′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
且g（1）=e•f（1）+2e=4e，
則不等式e^xf（x）＞4e-2e^x⇒e^xf（x）+2e^x＞4e⇒g（x）＞g（1），
又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
則有x＜1，
即其解集為（-∞，1）；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．