Question

1．某公司以25萬元購得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入100萬元購買生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工．已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每件20元．經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價(jià)定在25元到35元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為$y=\left\{\begin{array}{l}40-x（{25≤x≤30}）\\ 25-0.5x（{30＜x≤35}）\end{array}\right.$．
（年獲利=年銷售收入-生產(chǎn)成本-投資成本）
（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品的年銷售量為多少？
（2）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損．若是盈利，最大利潤是多少？若是虧損，最小虧損是多少？

Answer 1

分析 （1）因?yàn)?5＜28＜30，所以把x=28代入y=40-x即可求出該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件；
（2）由（1）中y于x的函數(shù)關(guān)系式和根據(jù)年獲利=年銷售收入-生產(chǎn)成本-投資成本，得到w和x的二次函數(shù)關(guān)系，再有x的取值范圍不同分別討論即可知道該公司是盈利還是虧損，若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？

解答 解：（1）∵25≤28≤30，$y=\left\{\begin{array}{l}40-x（{25≤x≤30}）\\ 25-0.5x（{30＜x≤35}）\end{array}\right.$，
∴把x=28代入y=40-x得y=12（萬件），
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品的年銷售量為12萬件；
（2）①當(dāng) 25≤x≤30時(shí)，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x²+60x-925=-（x-30）²-25，
故當(dāng)x=30時(shí)，W最大為-25，即公司最少虧損25萬；
②當(dāng)30＜x≤35時(shí)，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100
=-$\frac{1}{2}$x²+35x-625=-$\frac{1}{2}$（x-35）²-12.5
故當(dāng)x=35時(shí)，W最大為-12.5，即公司最少虧損12.5萬；
對(duì)比①，②得，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；
答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數(shù)模型解答，其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值．