Question

12．已知函數(shù)$f（x）={log_a}\frac{1-mx}{x-1}（a＞0，a≠1）$是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)p，a，當(dāng)x∈（p，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞）．若存在，求出實(shí)數(shù)p，a；若不存在，說明理由；
（3）令函數(shù)g（x）=-ax²+6（x-1）a^f（x）-5，當(dāng)x∈[4，5]時(shí)，求函數(shù)g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）分類討論，利用當(dāng)x∈（p，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），可得結(jié)論；
（3）g（x）=-ax²+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1，分類討論，求出函數(shù)g（x）的最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）={log_a}\frac{1-mx}{x-1}（a＞0，a≠1）$是奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=±1
又 m=1時(shí)，表達(dá)式無意義，所以m=-1…（2分）
（2）由題設(shè)知：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（-∞，-1），
①當(dāng)p＜a-2≤-1時(shí)，有0＜a＜1．此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
其值域?yàn)?（1，+∞）知\left\{\begin{array}{l}log\frac{1+n}{n-1}=1\\ a-2=-1\end{array}\right.$（與題設(shè)矛盾，無解）；…（5分）
②當(dāng)1≤p≤a-2時(shí)，有a＞3．此時(shí)f（x）為減函數(shù)，
其值域?yàn)椋?，+∞）知$\left\{\begin{array}{l}p=1\\{log_a}\frac{a-1}{a-3}=1，得a=2+\sqrt{3}，p=1.\end{array}\right.$…（8分）
符合題意
綜上①②：存在這樣的實(shí)數(shù)p，a滿足條件，$p=1，a=2+\sqrt{3}$…（9分）
（3）∵g（x）=-ax²+6（x-1）a^f（x）-5，$f（x）={log_a}\frac{1+x}{x-1}$
∴g（x）=-ax²+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1
①當(dāng)$\frac{3}{a}≤4⇒a≥\frac{3}{4}，a≠1$時(shí)，函數(shù)g（x）在[4，5]上單調(diào)遞減
所以g（x）_max=g（4）=-16a+25…（11分）
②當(dāng)$\frac{3}{a}≥5⇒0＜a≤\frac{3}{5}$時(shí)，函數(shù)g（x）在[4，5]上單調(diào)遞增
  所以g（x）_max=g（5）=-25a+31…（13分）
③當(dāng)$\frac{3}{4}＜a＜\frac{3}{5}$時(shí)，函數(shù)g（x）在$[4，\frac{3}{a}]$上單調(diào)遞增，在$[\frac{a}{3}，5]$上單調(diào)遞減
所以$g{（x）_{max}}=g（\frac{a}{3}）=\frac{9}{a}+1$…15分
綜上①②③，$g{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}-16a+25\begin{array}{l}{\;}&{a≥\frac{3}{4}，a≠1}\end{array}\\ \frac{9}{a}+1\begin{array}{l}{\;}&{\;}&{\;}&{\frac{3}{5}＜a＜\frac{3}{4}}\end{array}\\-25a+31\begin{array}{l}{\;}&{0＜a≤\frac{3}{5}}\end{array}\end{array}\right.$…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．