Question

7．已知圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=9，P（2，2）是該圓內(nèi)一點，過點P的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是6$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，AC為經(jīng)過點P的圓的直徑，而BD是與AC垂直的弦．因此算出PM的長，利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)算出BD長，根據(jù)四邊形的面積公式即可算出四邊形ABCD的面積．

解答 解：∵圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=9，
∴圓心坐標(biāo)為M（1，1），半徑r=3．
∵P（2，2）是該圓內(nèi)一點，
∴經(jīng)過P點的直徑是圓的最長弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦．
結(jié)合題意，得AC是經(jīng)過P點的直徑，BD是與AC垂直的弦．
∵|PM|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴由垂徑定理，得|BD|=2$\sqrt{7}$．
因此，四邊形ABCD的面積是S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{7}$=6$\sqrt{7}$．
故答案為6$\sqrt{7}$

點評 本題給出圓內(nèi)一點P，求經(jīng)過點P最長的弦與最短的弦構(gòu)成的四邊形的面積．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點間的距離公式和垂直于弦的直徑的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．