【題目】已知.

(Ⅰ)若曲線軸有唯一公共點,求的取值范圍;

(Ⅱ)若不等式對任意的恒成立,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】

試題(Ⅰ)由題意,函數(shù)有唯一零點,求導,分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性,利用零點的存在定理,即可求得實數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)由題意,可得,構(gòu)造新函數(shù),則對任意的恒成立,分類討論,得到函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的,即可求解實數(shù)的取值范圍.

試題解析:

(Ⅰ)解:函數(shù)的定義域為..

由題意,函數(shù)有唯一零點..

(1)若,則.

顯然恒成立,所以上是增函數(shù).

,所以符合題意.

(2)若,.

;.

所以上是減函數(shù),在上是增函數(shù).

所以 .

由題意,必有(若,則恒成立,無零點,不符合題意).

①若,則.

,則 .

;.

所以函數(shù)上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以.所以,當且僅當時取等號.

所以,,且.

取正數(shù),則 ;

取正數(shù),顯然.而,

,則.當時,顯然.

所以上是減函數(shù).

所以,當時,,所以.

因為,所以 .

上是減函數(shù),在上是增函數(shù).

則由零點存在性定理,、上各有一個零點.

可見,,或不符合題意.

注:時,若利用,,說明上各有一個零點.

②若,顯然,即.符合題意.

綜上,實數(shù)的取值范圍為.

(Ⅱ) .

,則對任意的恒成立.

(1)當時,.

時,,所以上是減函數(shù).

所以,當時,.可見,符合題意.

(2)若,顯然上是減函數(shù).

取實數(shù),顯然.

(利用

.

,上是減函數(shù),

由零點存在定點,存在唯一的使得.

于是,當時,,函數(shù)上是增函數(shù).

所以,當時,.可見,不符合題意.

時,分如下三種解法:

解法一:(3)若,.

,顯然上是減函數(shù),

所以,當時,,當且僅當時取等號.

所以,當時,,上是減函數(shù).

所以,當時,.

所以,上是減函數(shù).

所以,當時,.可見,符合題意.

(4)若,.

,顯然上是減函數(shù),且,

,

所以,存在唯一的,使得,即.

于是,當時,;當時,.

所以,當時,;當時,.

所以,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以,上的最大值 .

式代入上式,得 .

所以,當時,,所以上是減函數(shù).

所以,當時,.可見,符合題意.

綜上,所求的取值范圍是.

解法二:(3)若對任意的恒成立對任意的恒成立.

,.

,當時,

所以上是增函數(shù).所以.

顯然上是減函數(shù),.

所以,當時,

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每周使用時間

及以上

4

3

3

7

6

30

6

5

4

4

8

20

合計

10

8

7

11

14

50

1)在每周使用該“應用”時間不超過的樣本中,按性別分層抽樣,隨機抽取5名用戶:

①求抽取的5名用戶中男,女用戶各多少人;

②從這5名用戶中隨機抽取2名用戶,求抽取的2名用戶均為男用戶的概率.

2)如果每周使用該“應用”超過的用戶認為“喜歡該應用”,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“喜歡該應用”與性別有關(guān).

參考公式:,其中

下面的臨界值表僅供參考:

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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