Question

已知各項均為整數的數列滿足，，前6項依次成等差數列，從第5項起依次成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）求出所有的正整數，使得．

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）首先根據條件前項成等差數列可以將，用公差的代數式表示，再由條件從第項起依次成等比數列可以得到關于公差的方程：，從而解得或（舍去），即可得數列的通項公式為；（2）考慮到（1）中求得數列的分段性，因此首先可驗證或時符合題意，或時不合題意，接下來只需說明當，條件給出的方程無解即可：，

若，則，∴，而這是不可能成立的，從而得證.

試題解析：（1）設數列前項的公差為，則，(為整數)

又∵，，成等比數列，∴，即，得或（舍去）， 4 分

當 時，， 6 分 ∴，，數列從第項起構成的等比數列的公比為，

∴當時，，故， 8分

（2）由（1）知，當時等式成立，即，

當時等式成立，即， 10分 當或時等式不成立， 12分

當時，，

若，則，∴， 14分

，，從而方程無解，∴ .

故所求或． 16分

考點：1.等差等比數列的通項公式與性質；2.數列與方程不等式相結合.