Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{a}{x}$（x＞0，a∈R），若存在實(shí)數(shù)m，n，使得f（x）≥0的解集恰好為[m，n]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-$\frac{1}{e}$，0）．

Answer 1

分析 分別討論a的取值范圍，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，不存在f（x）≥0的解集恰為[m，n]，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{a}{x}$＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，不存在f（x）≥0的解集恰為[m，n]，
當(dāng)a＜0時(shí)，由f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{a}{x}$≥0得$\frac{1}{{e}^{x}}$≥-$\frac{a}{x}$，
又因?yàn)閤＞0，所以a≥-$\frac{x}{{e}^{x}}$；
設(shè)g（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=-$\frac{{e}^{x}-{xe}^{x}}{{e}^{2x}}$=-$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，
即當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極小值，同時(shí)也是最小值g（1）=-$\frac{1}{e}$，
∴若存在實(shí)數(shù)m，n，使得f（x）≥0的解集恰為[m，n]，
則必有a＞-$\frac{1}{e}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為-$\frac{1}{e}$＜a＜0．
故答案為：（-$\frac{1}{e}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．