Question

20．設函數(shù)f（x）=alnx-x，g（x）=ae^x-x，其中a為正實數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）都沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）分別求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a-x}{x}$（x＞0，a＞0），
∵0＜x＜a時，f′（x）＞0；x＞a時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（，a）上是增函數(shù)，在（a，+∞）上是減函數(shù)，又f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴0＜a≤1，
又g′（x）=ae^x-1，
∴x＞ln$\frac{1}{a}$時，g′（x）＞0，x＜ln$\frac{1}{a}$時，g′（x）＜0，
∴x=ln$\frac{1}{a}$時，g′（x）最小，∴l(xiāng)n$\frac{1}{a}$＞2時，
∴0＜a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴a∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x=a時，f（x）取得最大值，x=ln$\frac{1}{a}$，g（x）取得最小值，
由題意可得f（a）＜0且g（ln$\frac{1}{a}$）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{alna-a＜0}\\{a•\frac{1}{a}-ln\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{e}$＜a＜e即a∈（$\frac{1}{e}$，e）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．