Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

x²-2x-b（a＞

1

2

）
（1）若f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在[-2，3]上的最大值為6，最小值為-3，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）配方求得對(duì)稱軸x=a，可得f（x）在[a，+∞）遞增，在（-∞，a）遞減．由題意可得f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，即可得到a的范圍；
（2）對(duì)a討論，①

1

2

＜a≤3時(shí)，②a＞3時(shí)，判斷對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考慮兩端點(diǎn)的函數(shù)值的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到a，b的方程，解得即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1

a

x²-2x-b（a＞

1

2

）
即為f（x）=

1

a

（x-a）²-b-a，
在[a，+∞）遞增，在（-∞，a）遞減．
由f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，即為遞增函數(shù)，
則有

1

2

＜a≤2；
（2）由于f（x）=

1

a

（x-a）²-b-a，對(duì)稱軸為x=a，
①

1

2

＜a≤3時(shí)，最小值為f（a）=a-2a-b=-b-a=-3，
由f（3）=

9

a

-6-b，f（-2）=

4

a

+4-b，f（3）-f（-2）=

5

a

-10=

5-10a

a

，
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f（3）＜f（-2）．
即有最大值f（-2）=

4

a

+4-b=6，
解得a=1，b=2或a=4，b=-1（舍去）；
②a＞3時(shí)，[-2，3]為減區(qū)間，
最小值f（3）=

9

a

-6-b=-3，
最大值f（-2）=

4

a

+4-b=6，
解得a=5，b=-

6

5

．
綜上可得，a=1，b=2或a=5，b=-

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．