Question

函數(shù)f（x）=∫

x 0

t（t-4）dt在（0，5]上的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：首先由不定積分的基本求法求出f（x）的函數(shù)表達(dá)式

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x³-2x²，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求研究函數(shù)在（0，5]上的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最小值位置，代入算出結(jié)果

解答： 解：f（x）=∫₀^xt（t-4）dt=∫₀^x（t²-4t）dt=（

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t³-2t²）|₀^x=

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x³-2x²，
∴f′（x）=x²-4x，
令f′（x）=0，
∵x∈（0，5]，
∴x=4，
當(dāng)f′（x）＞0，即4＜x≤5時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即0＜x＜4時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=4時(shí)，f（x）_min=f（4）=

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×4³-2×4²=-

32

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故答案為：-

32

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查積分的基本求法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于基礎(chǔ)題．