Question

3．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{tx}{2lnx}$，g（x）=t（1-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{tx}}$），其中t∈R且t≠0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)t＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）是否存在t＜0，對(duì)?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（-∞，0），都有f（x₁）＞g（x₂）？若存在，求出t的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間和最小值，
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在負(fù)數(shù)m，只需f（x）_min＞g（x）_max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出最值，得到關(guān)于m的不等式，解得即可．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{t}{2}$•$\frac{lnx-1}{{（lnx）}^{2}}$（x＞0且x≠1）．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜e且x≠1；由f′（x）＜0，得x＞e，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（1，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞），
∴f（x）_極大值=f（e）=-$\frac{et}{2}$，無(wú)極小值；
（2）由題意，只需f（x）_min＞g（x）_max，
∵f′（x）=-$\frac{t}{2}$•$\frac{lnx-1}{{（lnx）}^{2}}$（x＞0且x≠1），由t＜0，則-$\frac{t}{2}$＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，e），單調(diào)遞增區(qū)間是（e，+∞），
∴f（x）_min≥f（e）=-$\frac{et}{2}$．
∵g′（x）=$\frac{tx（tx-2）}{{e}^{tx}}$，
由t＜0，g（x）在（-∞，$\frac{2}{t}$）單調(diào)遞增，（$\frac{2}{t}$，0）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（$\frac{2}{t}$）=t-$\frac{4}{{e}^{2t}}$，
∴-2te≥m-$\frac{4}{{e}^{2t}}$，
兩邊同乘以負(fù)數(shù)t得-2t²e≤t²-$\frac{4}{{e}^{2}}$，
即t≤-$\frac{2\sqrt{2e+1}}{e（2e+1）}$，
所述，存在這樣的負(fù)數(shù)m∈（-∞，-$\frac{2\sqrt{2e+1}}{e（2e+1）}$]滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間最值的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．