Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{|x|-a}$（a＞0，b＞0），因其圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，我們把函數(shù)f（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為函數(shù)f（x）的“囧點(diǎn)”，以函數(shù)f（x）的“囧點(diǎn)”為圓心，與函數(shù)f（x）的圖象有公共點(diǎn)的圓，皆稱函數(shù)f（x）的“囧圓”，則當(dāng)a=b=1時(shí)，有下列命題：
①對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞$\frac{1}{x}$成立；
②存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），使f（x₀）＜tanx₀成立；
③函數(shù)f（x）的“囧點(diǎn)”與函數(shù)y=lnx圖象上的點(diǎn)的最短距離是$\sqrt{2}$；
④函數(shù)f（x）的所有“囧圓”中，其周長的最小值為2$\sqrt{3}$π．
其中的正確命題有②③④（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 利用特殊值法，研究函數(shù)的值域，單調(diào)性，和零點(diǎn)問題，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行判斷．

解答 解：當(dāng)a=1，b=1時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$，
①當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$=-2，$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，故f（x）＞$\frac{1}{x}$不成立，故①不正確；
②當(dāng)x₀=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{\frac{π}{4}-1}$＜0，tan$\frac{π}{4}$=1，故存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），使f（x₀）＜tanx₀成立，故②正確；
③則函數(shù)f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$與y軸交于（0，-1）點(diǎn)，則“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)y=lnx，
則y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，lnx₀），
∴切線的斜率k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
當(dāng)“囧點(diǎn)”與切點(diǎn)的連線垂直切線時(shí)，距離最短，
∴$\frac{ln{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$•$\frac{1}{{x}_{0}}$=-1，
解得x₀=1，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
故函數(shù)f（x）的“囧點(diǎn)”與函數(shù)y=lnx圖象上的點(diǎn)的最短距離是$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，故③正確，
④令“囧圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=r²，
令“囧圓”與f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$圖象的左右兩支相切，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）、（-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）、此時(shí)r=$\sqrt{3}$；
令“囧圓”與f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$圖象的下支相切
則切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）
此時(shí)r=2，
故函數(shù)f（x）的所有“囧圓”中，其周長的最小值為2$\sqrt{3}$π，故④正確，
綜上所述：其中的正確命題有②③④，
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，其中根據(jù)“囧圓”的圓心坐標(biāo)及“囧函數(shù)”的解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，最短距離，屬難題．