Question

已知函數(shù) ，.

（1）已知區(qū)間是不等式的解集的子集，求的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，在函數(shù)圖像上任取兩點 、，若存在使得恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）將不等式在區(qū)間上恒成立等價轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)

中對參數(shù)進行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在區(qū)間的最小值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）將不等式進行變形得到，構(gòu)造函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化在區(qū)間單調(diào)遞增來處理，得到，即，圍繞對的符號進行分類討論，通過逐步構(gòu)造函數(shù)對不等式進行求解，從而求出實數(shù)的取值范圍.

（1）

①當時，，在區(qū)間上為增函數(shù)

由題意可知，即，；

②當時，，解得：，

，；，，

故有：當，即：時，即滿足題意

即，構(gòu)建函數(shù)，

，當時為極大值點，有，

故不等式無解；

當，即時，，即，

解得： ，；

當，即時，，即，

解得：，；

綜上所述: ；

（2）由題意可知：，可設(shè)任意兩數(shù)，

若存在使得成立，即: ，

構(gòu)建函數(shù)：，為增函數(shù)即滿足題意，即恒成立即可

，構(gòu)建函數(shù)，,

當時，，為增函數(shù)

則不存在使得恒成立， 故不合題意；

當時，，可解得；

當時，可知，即為極小值點，也是最小值點，

，由于存在使得該式恒成立，

即， 由（1）可知當時，，

綜上所述的最大值為.

考點：1.分類討論；2.構(gòu)造函數(shù)法