Question

8．某省高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高服從正態(tài)分布N（170.5，16）．現(xiàn)從某學(xué)校高三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于157.5cm和187.5cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組[157.5，162.5），第2組[162.5，167.5），…，第6組[182.5，187.5]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試評(píng)估該校高三年級(jí)男生的平均身高；
（Ⅱ）求這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)；
（Ⅲ）在這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （I）計(jì)算平均身高用組中值×頻率，即可得到結(jié)論；
（II）先理解頻率分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)，即每組中包含個(gè)體的個(gè)數(shù)；
根據(jù)頻數(shù)分布直方圖，了解數(shù)據(jù)的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)；
（III）先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人數(shù)，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，得我校高三年級(jí)男生平均身高為$\overline{x}$=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，
∴高于全市的平均值170.5；（4分）
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，后兩組頻率為0.2，
∴人數(shù)為0.2×50=10，
即這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人數(shù)為10人；…（6分）
（Ⅲ）∵P（170.5-3×4＜ξ≤170.5+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
∴0.0013×100 000=130，
全省前130名的身高在182.5 cm以上，這50人中182.5 cm以上的有5人；
∴隨機(jī)變量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=，
∴Eξ=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{5}{9}$+2×$\frac{2}{9}$=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算問題，屬于中檔題．