Question

16．過拋物線E：y²=2px（p＞0）準線上任意點C作E的兩條切線，切點分別為A，B．
（1）求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值；
（2）C在AB上的射影H是否為定點，若是，請求出其坐標，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（-$\frac{p}{2}$，t），過C的切線l的方程為：y-t=k（x+$\frac{p}{2}$），聯(lián)立拋物線E：y²=2px，消去x，利用△=0，結(jié)合韋達定理求k₁•k₂，即可求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值；
（2）確定直線AB經(jīng)過焦點F，直線AB的一個方向向量為$\overrightarrow{m}$=（1-k²，2k），證明$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{m}$=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)C（-$\frac{p}{2}$，t），過C的切線l的方程為：y-t=k（x+$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立拋物線E：y²=2px，消去x得：ky²-2py+p（2t+pk）=0①
l與E相切時，方程①由兩個相等的實根，則△=0，即pk²+2tk-p=0②
方程②的兩根k₁，k₂是切線CA，CB的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知：k₁k₂=-1，
∴CA⊥CB，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)CA的斜率為k，則y₁是方程①的相等實根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得y₁=$\frac{p}{k}$，則x₁=$\frac{p}{2{k}^{2}}$．
由（1），CB的斜率為-$\frac{1}{k}$，
同理y₂=-pk，則x₂=$\frac{p{k}^{2}}{2}$．
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$．
直線AB的方程為y+pk=$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$（x-$\frac{p{k}^{2}}{2}$）．
令y=0，得x=$\frac{p}{2}$，∴直線AB經(jīng)過焦點F．
由方程②得t=$\frac{p（1-{k}^{2}）}{2k}$，則直線AB的一個方向向量為$\overrightarrow{m}$=（1-k²，2k），
$\overrightarrow{FC}$=（-p，$\frac{p（1-{k}^{2}）}{2k}$）=$\frac{p}{2k}$（-2k，1-k²），
∴$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{m}$=0，
∴C在AB上的射影為定點F（$\frac{p}{2}$，0）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．