Question

20．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF是等腰梯形，其中AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點，M為△OBF的重心．
（I）求證：平面ADF⊥平面CBF；
（II）求證：PM∥平面AFC．

Answer 1

分析 （I）利用面面垂直的性質可證CB⊥平面ABEF，利用線面垂直的性質可證CB⊥AF，設AF=a，則AB=2a，根據(jù)余弦定理可得BF=$\sqrt{3}a$，利用勾股定理可得AF⊥BF，從而可證AF⊥平面CBF，進而可證平面ADF⊥平面CBF．
（II）∵M為底面△OBF的重心，連接OM延長交BF于Q，則Q為BF的中點，連接PO，PQ，可得PO∥AC，PQ∥CF，從而可證PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，通過面面平行即可證明PM∥平面AFC．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（I）∵平面ABCD⊥平面ABEF，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，…2分
又∵AF?平面ABEF，
∴CB⊥AF，…3分
∵AB=2AF，設AF=a，則AB=2a，又∠BAF=60°，根據(jù)余弦定理BF=$\sqrt{3}a$，
∴AB²=AF²+BF²，從而AF⊥BF，
∴AF⊥平面CBF，…4分
又∵AF?平面ADF，
∴平面ADF⊥平面CBF．…6分
（II）∵M為底面△OBF的重心，連接OM延長交BF于Q，則Q為BF的中點，連接PO，PQ，
∵P，O，Q分別是CB，AB，BF的中點，
∴PO∥AC，PQ∥CF，
從而，PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，…8分
∴平面POQ∥平面AFC，…10分
又∵PM?平面POQ，
∴PM∥平面AFC．…12分

點評 本題主要考查了面面垂直、線面垂直的性質，線面垂直、面面垂直的判定，線面平行的判定，考查了余弦定理，勾股定理的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．