Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增、導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減對(duì)a分3種情況進(jìn)行討論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

．
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)減少；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

．
當(dāng)x∈（0，

- a+1 2a

）時(shí)，f′（x）＞0；
x∈（

- a+1 2a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，

- a+1 2a

）上單調(diào)增加，在（

- a+1 2a

，+∞）單調(diào)減少．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，比較基礎(chǔ)．