Question

【題目】設函數f（x）=ex ， g（x）=kx+1．
（I）求函數y=f（x）﹣（x+1）的最小值；
（II）證明：當k＞1時，存在x0＞0，使對于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）；
（III）若存在實數m使對任意x∈（0，m）都有|f（x）﹣g（x）|＞x成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知y=ex﹣x﹣1，∴y'=ex﹣1，
設y'＞0得x＞0，設y'＜0得x＜0，
∴函數y=ex﹣x﹣1在（﹣∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
則當x=0時，y有最小值為0
（II）證明：設h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）=ex﹣kx﹣1，
∴h'（x）=ex﹣k，設h'（x）=0得x=lnk（k＞1），
∵k＞1，∴當x∈（0，lnk）時，h'（x）＜0，
即h（x）在（0，lnk）上單調遞減，
而h（0）=0，且h（x）是R上的連續(xù)函數，
∴h（x）＜0在（0，lnk）上恒成立，
即f（x）＜g（x）在（0，lnk）上恒成立，
∴取0＜x0≤lnk，則對任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）
（III）①當k＞1時，由（II）知存在x0＞0，
使對于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x），
則不等式|f（x）﹣g（x）|＞x
等價于g（x）﹣f（x）＞x，即（k﹣1）x+1﹣ex＞0，
設t（x）=（k﹣1）x+1﹣ex ， t'（x）=k﹣1﹣ex ，
設t'（x）＞0得x＜ln（k﹣1），設t'（x）＜0得x＞ln（k﹣1），
若1＜k≤2，ln（k﹣1）≤0，
∵（0，x0）（ln（k﹣1），+∞），
∴t（x）在（0，x0）上遞減，注意到t（0）=0，
∴對任意x∈（0，x0），t（x）＜0，與題設不符，
若k＞2，ln（k﹣1）＞0，（0，ln（k﹣1））（﹣∞，ln（k﹣1）），
∴t（x）在（0，ln（k﹣1））上遞增，
∵t（0）=0，∴對任意x∈（0，ln（k﹣1）），t（x）＞0符合題設，
此時取0＜m≤min{x0 ， ln（k﹣1）}，
可得對任意x∈（0，m）都有|f（x）﹣g（x）|＞x
②當k≤1時，由（I）知ex﹣（x+1）≥0，
f（x）﹣g（x）=ex﹣kx﹣1=ex﹣（x+1）+（1﹣k）x≥（1﹣k）x≥0，
對任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞x等價于ex﹣（k+1）x﹣1＞0，
設φ（x）=ex﹣（k+1）x﹣1，
則φ'（x）=ex﹣（k+1），
若k≤0，即有k+1≤1，∴對任意正數x，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上遞增，
∵φ（0）=0，∴φ（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
此時，m可取任意正數都符合題設，
若0＜k≤1，設φ'（x）＞0得x＞ln（k+1）＞0，
設φ'（x）＜0得x＜ln（k+1），
∴φ（x）在（0，ln（k+1））上遞減，注意到φ（0）=0，
∴對任意x∈（0，ln（k+1）），φ（x）＜0，不符合題設
綜上所述，滿足題設條件的k的取值范圍為{k|k≤0或k＞2}
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最小值即可；（Ⅱ）設h（x）=f（x）﹣g（x），求出函數的導數，得到函數的單調性，從而證出結論；（Ⅲ）通過討論k的范圍，①當k＞1時，得到（k﹣1）x+1﹣ex＞0，設t（x）=（k﹣1）x+1﹣ex ， 根據函數的單調性求出k的范圍即可；②當k≤1時，等價于ex﹣（k+1）x﹣1＞0，設φ（x）=ex﹣（k+1）x﹣1，根據函數的單調性求出k的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．