Question

15．直角坐標(biāo)系原點(diǎn)與極坐標(biāo)系的極點(diǎn)重合，x的正半軸為極軸．直線l經(jīng)過點(diǎn)P（-1，1），直線的傾斜角α=$\frac{5π}{6}$，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，由變換公式可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把參數(shù)方程代入圓方程可得：t²+（$\sqrt{3}$-1）t-2=0，設(shè)$\overrightarrow{PA}$=${t}_{1}\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{PB}$=${t}_{2}\overrightarrow{e}$，其中$\overrightarrow{e}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=t₁t₂．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，由變換公式可得曲線C的直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4y．
（Ⅱ）把參數(shù)方程代入圓方程可得：t²+（$\sqrt{3}$-1）t-2=0，∴t₁t₂=-2．
設(shè)$\overrightarrow{PA}$=${t}_{1}\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{PB}$=${t}_{2}\overrightarrow{e}$，其中$\overrightarrow{e}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=t₁t₂${\overrightarrow{e}}^{2}$=t₁t₂=-2．

點(diǎn)評 本題考查了直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．