Question

20．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx，sinx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的對稱軸方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意實數(shù)x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]，不等式f（x）-m＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積的定義求出函數(shù)f（x）的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性進行求解．
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解，
（3）利用參數(shù)分離法將不等式進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，
故函數(shù)的遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
（3）若對任意實數(shù)x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]，不等式f（x）-m＜2恒成立，
則m＞f（x）-2=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-2=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{3}{2}$，
∵${\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}}$，∴$\frac{π}{3}}$≤2x≤$\frac{2π}{3}$，
$\frac{π}{12}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{12}$，
又∵y=sinx在$[0，\frac{π}{2}]$上是增函數(shù)，
∴sin$\frac{π}{12}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤sin\frac{5π}{12}$．
又∵sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{4}$）=sin$\frac{2π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{2π}{3}$sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴f（x）在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，時的最大值是f_max（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
∵不等式f（x）-m＜2恒成立，即f（x）-2＜m恒成立，
∴$\frac{3+\sqrt{3}}{4}-2＜m$，即m$＞\frac{\sqrt{3}-5}{4}$，
所以，實數(shù)m的取值范圍是$（\frac{\sqrt{3}-5}{4}，+∞）$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的計算．兩角和與差的三角函數(shù)正弦函數(shù)的對稱軸方程以及單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．