Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在區(qū)間[-1，3]上的最大值為5，最小值為1．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若不等式g（3^x）-t•3^x≥0在x∈[0，2]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為t≤2${（\frac{1}{{3}^{x}}）}^{2}$-2$（\frac{1}{{3}^{x}}）$+1=2${（\frac{1}{{3}^{x}}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$在x∈[0，2]上有解，通過換元法求出t的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=a（x-1）²+b-a（a＞0）及條件，可得$\left\{\begin{array}{l}f（3）=3a+b=5\\ f（1）\;\;=b-a=1\end{array}\right.$，…（3分）
解得 a=1，b=2．故f（x）=x²-2x+2…（6分）
（2）由（1）可得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2，
于是題設(shè)條件得3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$-2-t•3^x≥0在x∈[0，2]上有解，…（8分）
即t≤2${（\frac{1}{{3}^{x}}）}^{2}$-2$（\frac{1}{{3}^{x}}）$+1=2${（\frac{1}{{3}^{x}}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$在x∈[0，2]上有解，…（10分）
令$\frac{1}{{3}^{x}}$=u∈[$\frac{1}{9}$，1]，∵x∈[0，2]，
則t≤2${（u-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$在u∈[$\frac{1}{9}$，1]上有解…（12分）
當(dāng)u∈[$\frac{1}{9}$，1]時(shí)，2${（u-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，于是t≤1，
因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，1]．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，考查換元思想，是一道中檔題．