Question

5．已知命題p：?m∈[-1，1]，不等式${a^2}-5a-3≥\sqrt{{m^2}+8}$；命題q：?x∈R，使不等式x²+ax+2≤0成立．若p∨q是真命題，￢q是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出滿足條件p，￢q成立的a的范圍，取交集即可．

解答 解：若命題p是真命題，
∵m∈[-1，1]，
∴2$\sqrt{2}$≤$\sqrt{{m}^{2}+8}$≤3，
∵?m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$，
∴a²-5a-3≥3，即a²-5a-6≥0，
解得：a≥6或a≤-1，
若命題￢q為真命題，q是假命題，
∴x²+ax+2≥0對x∈R恒成立，
∴△=a²-8≤0
解得-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，
“p或q”是真命題，?q是真命題，
p為真命題q為假命題，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥6或a≤-1}\\{-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴a≥6或a＜-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考考查了復(fù)合命題的真假判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件分別求解p，q為真時的范圍．