Question

9．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4．E為BC的中點，F(xiàn)為CC₁的中點．
（1）求EF與平面ABCD所成的角的余弦值；
（2）求二面角F-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合直線和平面所成角的定義得到FEC是EF與平面ABCD所成的角，進行求解即可；
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角F-DE-C的余弦值．

解答 解：（1）在長方體中，CC₁⊥底面ABCD，
∴∠FEC是EF與平面ABCD所成的角，
∵E為BC的中點，F(xiàn)為CC₁的中點，
∴CF=2，CE=1，EF=$\sqrt{C{F}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
則cos∠FEC=$\frac{CE}{EF}=\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即EF與平面ABCD所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）建立如圖所示的坐標系，
則平面DEC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設平面FDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，2），E（1，2，0），
則$\overrightarrow{DF}$=（0，2，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=x+2y=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，則x=2，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即二面角F-DE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題主要考查線面角以及二面角的求解，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關鍵．綜合考查學生的運算和推理能力．