Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)．
（1）若PA=1，求證：EF⊥平面PCD；
（2）若PA=2，試問(wèn)在線段EF上是否存在點(diǎn)Q，使得二面角Q-AP-D的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取PD中點(diǎn)M，連接MF、MA，先證明EF∥AM，然后證明AM⊥平面PCD，利用直線平行的性質(zhì)即可證明EF⊥平面PCD，
（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則平面PAD的法向量與平面PAQ的法向量的夾角的余弦值即為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，建立方程進(jìn)行計(jì)算求解即可．

解答 證明：（1）取PD中點(diǎn)M，連接MF、MA，
在△PCD中，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴MF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
正方形ABCD中E為AB中點(diǎn)，∴AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，∴AE$\underset{∥}{=}$MF，
故四邊形EFMA為平行四邊形，∴EF∥AM，
若PA=1，則PA=AD=1，
即三角形PAD是等腰直角三角形，
∵M(jìn)是中點(diǎn)，∴AM⊥MD，
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，
∵CD∩MD=D，
∴AM⊥平面PCD，
∵EF∥AM，
∴EF⊥平面PCD；
（2）結(jié)論：滿(mǎn)足條件的Q存在，是EF中點(diǎn)．
理由如下：
如圖：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
由題易知平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
假設(shè)存在Q滿(mǎn)足條件：設(shè)$\overrightarrow{EQ}$=λ$\overrightarrow{EF}$，
∵$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，0，1），∴Q（$\frac{λ}{2}$，$\frac{1}{2}$，λ），$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{λ}{2}$，$\frac{1}{2}$，λ），λ∈[0，1]，
設(shè)平面PAQ的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}x+\frac{1}{2}y+λz=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$=（1，-λ，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
由已知：$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得：$λ=\frac{1}{2}$，
所以滿(mǎn)足條件的Q存在，是EF中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．