Question

3．已知函數(shù)f（x）=ae^x+x²，g（x）=cosπx+bx，直線l與曲線y=f（x）切于點(diǎn)（0，f（0）），且與曲線y=g（x）切于點(diǎn)（1，g（1）），則a+b=-2，直線l的方程為x+y+1=0．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率a；求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率b．由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得a=b=-1，進(jìn)而由斜截式方程可得所求切線的方程．

解答 解：函數(shù)f（x）=ae^x+x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ae^x+2x，
可得在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率為a；
g（x）=cosπx+bx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-πsinπx+b，
可得在（1，g（1））處的切線的斜率為b，
由題意可得a=b=$\frac{a-（b-1）}{0-1}$，
解得a=b=-1．
∴a+b=-2，
即有f（0）=a=-1，
可得切線的方程為y=-x-1．即x+y+1=0．
故答案為：-2，x+y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查直線的斜率和直線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．