Question

14．已知R上的奇函數(shù)f（x），f（x+2）=f（x），x∈[0，1]時(shí)f（x）=1-|2x-1|，定義：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n≥2，n∈N，則f₃（x）=$\frac{9}{8（x-1）}$在[-1，3]內(nèi)所有不等實(shí)根的和為14．

Answer 1

分析 逐次作出f₁（x），f₂（x），f₃（x）的函數(shù)圖象，觀察f₃（x）與函數(shù)y=$\frac{9}{8（x-1）}$圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作圖求解即可．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的奇函數(shù)．
∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-|2x-1|．
∴函數(shù)f₁（x）的圖象如下圖所示：

∵f₂（x）=f（f₁（x）），
∴函數(shù)f₂（x）的圖象如下圖所示：

∵f₃（x）=f（f₂（x）），
∴作函數(shù)f₃（x）與函數(shù)y=$\frac{9}{8（x-1）}$圖象如下圖所示：

由圖可知兩函數(shù)圖象共有14個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于（1，0）點(diǎn)對(duì)稱，
故f₃（x）=$\frac{9}{8（x-1）}$在[-1，3]內(nèi)所有不等實(shí)根的和為14．
故答案為14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的關(guān)系，本題圖象比較難畫，屬于難題．