Question

8．如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，$∠ABD=\frac{π}{6}，AB=2AD$．
（1）求證：平面BDEF⊥平面ADE；
（2）若BF=BD=a，求四棱錐A-BDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得BD=$\sqrt{3}AD$，由勾股定理得BD⊥AD，由DE⊥平面ABCD，得DE⊥BD，從而BD⊥平面ADE，由此能證明平面BDEF⊥平面ADE．
（2）當(dāng)BF=BD=α?xí)r，${S}_{BDEF}={a}^{2}$，推導(dǎo)出AD為四棱錐A-BDEF的高，由此能求出四棱錐A-BDEF的體積．

解答 證明：（1）在平行四邊形ABCD中，$∠ABD=\frac{π}{6}，AB=2AD$．
由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos$\frac{π}{6}$，
解得BD=$\sqrt{3}AD$，
∴BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD，
∴△ABD為直角三角形，且∠ADB=90°，
又由DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，得DE⊥BD，
又AD∩DE=D，∴BD⊥平面ADE，
∵BD?平面BDEF，∴平面BDEF⊥平面ADE．
解：（2）當(dāng)BF=BD=α?xí)r，
由四邊形BDEF為矩形，得${S}_{BDEF}={a}^{2}$，
由（1）得AD⊥DE，AD⊥BD，
又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BDEF，即AD為四棱錐A-BDEF的高，
在Rt△ABD中，$∠BAD=\frac{π}{3}$，BD=α，得AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴四棱錐A-BDEF的體積V_A-BDEF=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}a×{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}{a}^{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查棱錐性質(zhì)、余弦定理、勾股定理、空間中線線、線面、面面間關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．