【題目】圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當(dāng)該三角形面積最小時,切點為P(如圖),雙曲線C1: 過點P且離心率為 .
(1)求C1的方程;
(2)若橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.
【答案】(1)(2) 或
【解析】分析:(1)求出出三角形的面積,利用基本不等式的性質(zhì)可得點的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn),結(jié)合離心率為 與 ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、 、,即可得結(jié)果;(2)由(1)可得橢圓的焦點,可設(shè)橢圓的方程為,把的坐標(biāo)代入即可得出方程,由題意可設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系,再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出.
詳解:(1)設(shè)切點P(x0,y0),(x0>0,y0>0),則切線的斜率為 ,
可得切線的方程為 ,化為x0x+y0y=4.
令x=0,可得 ;令y=0,可得 .
∴切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形的面積S= = .
∵4= ,當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.
∴ .此時P .
由題意可得 , ,解得a2=1,b2=2.
故雙曲線C1的方程為 .
(2)由(1)可知雙曲線C1的焦點(± ,0),即為橢圓C2的焦點.
可設(shè)橢圓C2的方程為 (b1>0).
把P 代入可得 ,解得 =3,
因此橢圓C2的方程為 .
由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+ ,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立 ,化為 ,
∴ , .
∴x1+x2= = ,
x1x2= = .
, ,
∵ ,∴ ,
∴ + ,
∴ ,解得m= -1或m= ,
因此直線l的方程為: 或
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【題目】甲、乙、丙三人用擂臺賽形式進(jìn)行訓(xùn)練.每局兩人單打比賽,另一人當(dāng)裁判.每一局的輸方去當(dāng)下一局的裁判,而由原來的裁判向勝者挑戰(zhàn).半天訓(xùn)練結(jié)束時,發(fā)現(xiàn)甲共打局,乙共打局,而丙共當(dāng)裁判局.那么整個比賽的第局的輸方( )
A. 必是甲 B. 必是乙 C. 必是丙 D. 不能確定
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【題目】設(shè)α,β,γ為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,給出下列四個命題:
(1)若α⊥γ,β⊥γ,則α//β;
(2)若mα,nα, , 則α//β;
(3)若α//β,lα,則l//β;
(4)若 , l//γ,則m//n.
其中正確的命題是( )
A.(1)(3)
B.(2)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若是函數(shù)的極值點,求的值及函數(shù)的極值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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【題目】如圖,在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 時,有A1C⊥B1D1 . (注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形.)
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【題目】如圖所示,圓C上有n個不同的點P1,P2,…,Pn,設(shè)兩兩連接這些點所得線段PiPj中,任意三條在圓內(nèi)都不共點,試證它們在圓內(nèi)共≥4).
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【題目】已知點的序列An(xn,0),n∈N*,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是線段A1A2的中點,A4是線段A2A3的中點,……,An是線段An-2An-1的中點,……
(1)寫出xn與xn-1,xn-2之間的關(guān)系式(n≥3);
(2)設(shè)an=xn+1-xn,計算a1,a2,a3,由此推測數(shù)列{an}的通項公式,并加以證明.
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【題目】某機構(gòu)通過對某企業(yè)今年的生產(chǎn)經(jīng)營情況的調(diào)查,得到每月利潤(單位:萬元)與相應(yīng)月份數(shù)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
1 | 4 | 7 | 12 | |
229 | 244 | 241 | 196 |
(1)根據(jù)如表數(shù)據(jù),請從下列三個函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述與的變化關(guān)系,并說明理由,,,;
(2)利用(1)中選擇的函數(shù),估計月利潤最大的是第幾個月,并求出該月的利潤.
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【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取名中學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | ① | ||
第3組 | 30 | ② | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 |
(1)請先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試;
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試,求:第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率.
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