Question

8．若函數(shù)$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$在定義域上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

Answer 1

分析 求出f′（x）=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$≥0在定義域上恒成立，設(shè)g（x）=（x+1）²-2ax，由題意x＞0，且g（x）≥0，g′（x）=2（x+1）-2a，當(dāng)x=a-1時(shí)，g（x）取最小值，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$，
∴f′（x）=$\frac{-a（x+1）-a（1-x）}{（x+1）^{2}}$+$\frac{1}{x}$
=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$，x＞0，
∵函數(shù)$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$在定義域上是增函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$≥0在定義域上恒成立，
∵x＞0，∴當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$≥0在定義域上恒成立，
當(dāng)a≥0時(shí)，
設(shè)g（x）=（x+1）²-2ax，由題意x＞0，且g（x）≥0，
g′（x）=2（x+1）-2a，
∵函數(shù)$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$在定義域上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=a-1時(shí)，g（x）取最小值，
則由g（a-1）=2a-a²≥0，得0≤a≤2．
綜上：a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．
故答案為：（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．