Question

已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（2，m），點(diǎn)Q到點(diǎn)F的距離為4．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)M（0，3）作直線交拋物線于A、B，求AB的中點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，p＞0，由已知得2+p=4，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)N（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入y²=4x，利用點(diǎn)差法有求出AB的中點(diǎn)N的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（2，m），
∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，p＞0，
∵點(diǎn)Q到點(diǎn)F的距離為4，
∴2+p=4，解得p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)N（x，y），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入y²=4x，得：

y12=4x1 y22=4x2

，整理，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
即2y（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

2

y

，
又直線AB過(guò)N（x，y），M（0，3），∴k=

y-3

x

，
∴

y-3

x

=

2

y

，整理，得y²-3y-2x=0，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，上式也成立，
∴AB的中點(diǎn)N的軌跡方程為y²-3y-2x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查拋物線的弦的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．