Question

已知函數(shù)f（x）=|log₂x-m|log₂x+2log₂x-3（m∈R）．
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

4

，4]的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)log₂x=t，當x∈[

1

4

，4]時，求出t的取值范圍，考查m=1時，f（x）的單調(diào)性，求出它的值域即可；
（2）又log₂x=t，考查函數(shù)f（x）=g（t）的圖象與性質(zhì)，利用f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)log₂x=t，當x∈[

1

4

，4]時，t∈[-2，2]；
當m=1時，f（x）=g（t）=t|t-1|+2t-3
=

t2+t-3，t≥1 -t2+3t-3，t＜1

；
∴g（t）在[1，2]上單調(diào)遞增，在[-2，1]上也單調(diào)遞增，
且g（2）=3，g（-2）=-13，
∴f（x）的值域為[-13，3]；
（2）f（x）=g（t）=t|t-m|+2t-3
=

t2+(2-m)t-3，t≥m -t2+(m+2)t-3，t＜m

=

(t- m-2 2 )2-3-( m-2 2 )2，t≥m -(t- m+2 2 )2-3+( m+2 2 )2，t＜m

，
∵f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴

m-2 2 ≤m m+2 2 ≥m m2+(2-m)m-3≥-m2+(m+2)m-3

，
即

m≥-2 m≤2 2m-3≥2m-3

；
解得m∈[-2，2]．

點評：本題考查了復合函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．