Question

13．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點(diǎn)，K_AB，K_OM分別表示直線AB，OM的斜率，在圓x²+y²=r²中，K_AB•K_OM=-1，在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，類比上述結(jié)論可得若AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點(diǎn)，則${K_{AB}}•{K_{OM}}=-\frac{b^2}{a^2}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，由圓的性質(zhì)類比猜想橢圓的類似性質(zhì)，一般的思路是：點(diǎn)到點(diǎn)，線到線，直徑到直徑等類比后的結(jié)論應(yīng)該為關(guān)于橢圓的一個(gè)類似結(jié)論．

解答 解：定理：如果圓x²+y²=r²（r＞0）上異于一條直徑兩個(gè)端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑兩個(gè)端點(diǎn)連線的都斜率存在，
則這兩條直線的斜率乘積為定值-1，即k_ABk_OM=-1．
運(yùn)用類比推理，寫(xiě)出該定理在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中的推廣：
若AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點(diǎn)，則k_ABk_OM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案為：若AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點(diǎn)，則${K_{AB}}•{K_{OM}}=-\frac{b^2}{a^2}$．

點(diǎn)評(píng) 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．