Question

1．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若在曲線C的右支上存在點P，使得△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為a，圓心記為M，又△PF₁F₂的重心為G，滿足MG∥F₁F₂，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)P（s，t）（s，t＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運用三角形的重心坐標(biāo)，求得內(nèi)心的坐標(biāo)，可得t=3a，再結(jié)合雙曲線的定義和等積法，求得|PF₂|=2c-a，再由雙曲線的離心率公式和第二定義，可得s=2a，將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，運用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P（s，t）（s，t＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可得重心G（$\frac{s-c+c}{3}$，$\frac{t}{3}$）即（$\frac{s}{3}$，$\frac{t}{3}$），
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓與邊F₁F₂的切點N，與邊PF₁的切點為K，
與邊PF₂上的切點為Q，
則△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與N的橫坐標(biāo)相同．
由雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a．①
由圓的切線性質(zhì)|PF₁|-PF₂|=|F_IK|-|F₂Q|=|F₁N|-|F₂N|=2a，
∵|F₁N|+|F₂N|=|F₁F₂|=2c，∴|F₂N|=c-a，|ON|=a，
即有M（a，a），
由MG∥F₁F₂，
則△PF₁F₂的重心為G（$\frac{s}{3}$，a），即t=3a，
由△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$•2c•3a=$\frac{1}{2}$a（|PF₁|+|PF₂|+2c），
可得|PF₁|+|PF₂|=4c②
由①②可得|PF₂|=2c-a，
由右準(zhǔn)線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，雙曲線的第二定義可得
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{s-\frac{{a}^{2}}{c}}$，解得s=2a，
即有P（2a，3a），代入雙曲線的方程可得
$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{a}^{2}}{^{2}}$=1，可得b=$\sqrt{3}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率和準(zhǔn)線方程，運用定義法是解題的關(guān)鍵，同時考查內(nèi)心和重心的坐標(biāo)的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．