Question

10．在某班級(jí)舉行的“元旦聯(lián)歡會(huì)”有獎(jiǎng)答題活動(dòng)中，主持人準(zhǔn)備了A，B兩個(gè)問(wèn)題，規(guī)定：被抽簽抽到的答題同學(xué)，答對(duì)問(wèn)題A可獲得100分，答對(duì)問(wèn)題B可獲得200分，答題結(jié)果相互獨(dú)立互不影響，先回答哪個(gè)問(wèn)題由答題同學(xué)自主決定；但只有第一個(gè)問(wèn)題答對(duì)才能答第二個(gè)問(wèn)題，否則終止答題．答題終止后，獲得的總分決定獲獎(jiǎng)的等次．若甲是被抽到的答題同學(xué)，且假設(shè)甲答對(duì)A，B問(wèn)題的概率分別為$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）記甲先回答問(wèn)題A再回答問(wèn)題B得分為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）你覺(jué)得應(yīng)先回答哪個(gè)問(wèn)題才能使甲的得分期望更高？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）ξ的可能取值為0，100，300，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）設(shè)先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A得分為隨機(jī)變量η，則η的可能取值為0，200，300．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出η的數(shù)學(xué)期望，由此能求出應(yīng)先回答A所得分的期望值較高．

解答 （本小題滿(mǎn)分13分）
解：（Ⅰ）ξ的可能取值為0，100，300．（2分）
$P（ξ=0）={（\frac{1}{2}）^0}•（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$，
$P（ξ=100）=\frac{1}{2}•（1-\frac{1}{4}）=\frac{3}{8}$，
$P（ξ=300）=\frac{1}{2}•\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$，（5分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	100	300
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

$Eξ=\frac{600}{8}=75$．（7分）
（Ⅱ）設(shè)先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A得分為隨機(jī)變量η，則η的可能取值為0，200，300．
∴$P（η=0）=（1-\frac{1}{4}）=\frac{3}{4}$，$P（ξ=200）=\frac{1}{4}•（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{8}$，$P（ξ=300）=\frac{1}{4}•\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，（10分）
η的分布列為：

η	0	200	300
P	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

$Eη=\frac{500}{8}=62.5$．（12分）
∵Eξ＞Eη，∴應(yīng)先回答A所得分的期望值較高．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．