Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC，BD交于點(diǎn)O，A₁O⊥平面ABCD，A₁A=BD=2，AC=2

2

．
（1）證明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求三棱錐A-C₁CD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）根據(jù)三棱錐的條件公式，即可求三棱錐A-C₁CD的體積．

解答： 證明：（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD，
∵A₁O∩AC=0，∴BD⊥平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C，
由已知A₁A=2，AC=2

2

，
又AO=OC，A₁O⊥AC，
∴A₁A=A₁C=2，A₁A²=A₁C²=AC²，
∴A₁C⊥A₁A，
∵B₁B∥A₁A，∴A₁C⊥B₁B，
∵BD∩B₁B=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D．
（2）連結(jié)A₁C₁，
∵AA₁∥C₁C，且AA₁=C₁C，
∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC，
三棱錐A-C₁CD的體積VA-C1CD=VC1-ACD=VA1-ACD=

1

3

S△ACD×A1O=

1

3

×

1

4

•AC•BD•A1O=

1

12

×2

2

×2×

2

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱錐的體積的計(jì)算，要求熟練掌握空間線面垂直的判定定理和三棱錐的體積公式．