Question

6．設函數f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0．
（Ⅰ）當a=-1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）試討論函數f（x）極值點的個數．

Answer 1

分析 （1）由a=1，得出f（x）的解析式，求切線方程，即先求f′（x）在x=0出的值為切線的斜率．由點斜式求出切線方程即可．
（2）求出導函數，并討論其等價函數h（x），從△＞0，△=0，△＜0三種情況討論．

解答 解：（1）當a=-1時，f（x）=x²-ln（x+1）
f′（x）=2x-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x-1}{x+1}$=$\frac{{2（x+\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{3}{2}}{x+1}$，
f′（0）=-1，即切線方程的斜率是-1，
∴切線方程為y=-x；
（2）∵函數f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0
∴f（x）的定義域為（0，+∞）
f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，
令h（x）=2x²+2x+a=2（x+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{1}{2}$，
①a＜$\frac{1}{2}$，且a≠0時，△＞0，h（x）=0有兩個根，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，x₁∈（-1，-$\frac{1}{2}$），x₂∈（-$\frac{1}{2}$，+∞），此時f（x）有2個極值點．
當a＜0時，x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-$\frac{1}{2}$，+∞），此時f（x）有1個極值點．
②a=$\frac{1}{2}$時，△=0，
∴h（x）≥0，
則f（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上為增函數
∴f（x）無極值點
③a＞$\frac{1}{2}$時，△＜0，
∴h（x）＞0，則f（x）＞0，
∴f（x）在[-1，+∞）上為增函數，
∴f（x）無極值點．
綜上，當a≥$\frac{1}{2}$時，無極值點；當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，有2個極值點；當a＜0時，有1個極值點．

點評 本題考查函數與導函數的關系．在導函數的應用中可以通過構造等價函數來研究，將導函數與不等式建立關系．