Question

1．已知函數f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若關于x的方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在區(qū)間（0，2）有兩個不等實根，求實數b的取值范圍；
（3）對于n∈N⁺，證明：$\frac{2}{{1}^{2}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{3}^{2}}+…+\frac{n+1}{{n}^{2}}＞ln（n+1）$．

Answer 1

分析 （1）求導，f′（0）=0，求得a的值，寫出函數及導函數表達式，f′（x）＞0，求得f（x）的單調遞增區(qū)間，；由f′（x）＜0，求得函數單調遞減區(qū)間；
（2）構造輔助函數g（x）=f（x）-（-$\frac{5}{2}$x+b），求導，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的單調區(qū)間，求得g（x）的兩個零點，實數b的取值范圍；
（3）由（1）可知當x≥0時ln（x+1）≤x²+x（當且僅當x=0時等號成立），可得到ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，求得前n項不等式，采用累加法及對數函數的性質，即可證明不等式成立．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1=$\frac{1-2x（x+a）-（x+a）}{x-a}$，…（1分）
∵f′（0）=0，∴$\frac{1-a}{a}$=0，
∴a=1．
∴f（x）=ln（x+1）-x²-x（x＞-1），…（2分）
于是f′（x）=$\frac{1-2x（x+1）-（x+1）}{x+1}$=$\frac{-2x（x+\frac{3}{2}）}{x+1}$（x＞-1），
由f′（x）＞0得-1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（-1，0），單調遞減區(qū)間是（0，+∞）．…（4分）
（2）令g（x）=f（x）-（-$\frac{5}{2}$x+b）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b，x∈（0，2），
則g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{4{x}^{2}+x-5}{2（x+1）}$，令g′（x）=0，得x=1或x=-$\frac{5}{4}$（舍），
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當1＜x＜2時g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減．…（7分）
方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在區(qū)間（0，2）有兩個不等實根等價于函數g（x）在（0，2）上有兩個不同的零點．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-b＜0}\\{ln2+\frac{1}{2}-b＞0}\\{ln3-1-b＜0}\end{array}\right.$亦即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{b＜ln2+\frac{1}{2}}\\{b＞ln3-1}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)n3-1＜b＜ln2+$\frac{1}{2}$，
故所求實數b的取值范圍為{b丨ln3-1＜b＜ln2+$\frac{1}{2}$}．…（9分）
證明：（3）由（1）可得，當x≥0時ln（x+1）≤x²+x（當且僅當x=0時等號成立），
設x=$\frac{1}{n}$，則ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$，即ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$  ①…（10分）
∴$\frac{{2}^{2}}{{1}^{2}}$＞ln$\frac{2}{1}$，$\frac{3}{{2}^{2}}$＞ln$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{{3}^{2}}$＞ln$\frac{4}{3}$，…，$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln$\frac{n+1}{n}$，
將上面n個式子相加得：
$\frac{{2}^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1），
故：$\frac{2}{{1}^{2}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{3}^{2}}+…+\frac{n+1}{{n}^{2}}＞ln（n+1）$．…（12分）

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程的實數根轉化為函數圖象與x軸的交點的問題，同時考查了利用構造函數法證明不等式，考查了推理能力與計算能力，是一道綜合題，屬于難題．