Question

14．設(shè)A（-3，0），B（3，0），若直線y=-$\frac{3\sqrt{5}}{10}$（x-5）上存在一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=4，則點(diǎn)P到z軸的距離為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{5\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$或$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{5}}{3}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，求出雙曲線的方程，聯(lián)立方程組求出P的坐標(biāo)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵A（-3，0），B（3，0），P滿足|PA|-|PB|=4＜|AB|，
∴P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，其中c=3，2a=4，
則a=2，b²=9-4=5，
即雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
若直線y=-$\frac{3\sqrt{5}}{10}$（x-5）上存在一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=4，
則有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3\sqrt{5}}{10}（x-5）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$消去y得16x²+90x-325=0，
即（2x-5）（8x+65）=0，
得x=$\frac{5}{2}$或（x=-$\frac{65}{8}$＜0舍），
此時y=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
即點(diǎn)P到z軸的距離為$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線方程和性質(zhì)，根據(jù)條件確定雙曲線的方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．