Question

3．方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$的曲線為函數(shù)y=f（x）的圖象，對(duì)于函數(shù)y=f（x），下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． f（0）=-3
• B． 函數(shù)y=f（x）的值域是R
• C． 函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減
• D． 函數(shù)F（x）=4f（x）+5x有兩個(gè)相異零點(diǎn)

Answer 1

分析 根據(jù)y，x的符號(hào)分類整理方程，得出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=-1$，方程無解．
（2）當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
（3）當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
（4）當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$，
∴方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$的曲線為函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示：

由函數(shù)圖象可知：f（0）=-3，f（x）的值域?yàn)镽，f（x）在R上單調(diào)遞減，故A，B，C正確．
令F（x）=4f（x）+5x=0得f（x）=-$\frac{5x}{4}$，
作出y=-$\frac{5}{4}x$的函數(shù)圖象，則F（x）與y=-$\frac{5x}{4}$的圖象只有一公共點(diǎn)，
∴F（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的方程，函數(shù)的圖象及其意義，屬于中檔題．