Question

14．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足$\frac{x-a}{x-3a}$＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6＜0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）命題p：a=1時(shí)，由$\frac{x-1}{x-3}$＜0，化為：（x-1）（x-3）＜0，解出即可得出．命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6＜0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，化為：$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）（x+2）＜0}\\{（x+4）（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得x范圍．由p∧q為真，可得命題p與q都為真命題．
（2）由（1）可得：命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足：2＜x＜3．命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足$\frac{x-a}{x-3a}$＜0，其中a＞0，化為（x-a）（x-3a）＜0，解得x范圍．由￢p是￢q的充分不必要條件，可得q是p的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：（1）命題p：a=1時(shí)，由$\frac{x-1}{x-3}$＜0，化為：（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3．
命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6＜0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，
化為：$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）（x+2）＜0}\\{（x+4）（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∵p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2，3）．
（2）由（1）可得：命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足：2＜x＜3．
命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足$\frac{x-a}{x-3a}$＜0，其中a＞0，化為（x-a）（x-3a）＜0，解得a＜x＜3a．
∵￢p是￢q的充分不必要條件，
∴q是p的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3≤3a}\end{array}\right.$，且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得1≤a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．