Question

已知函數(shù)g（x）=4sin（ωx+

2π

3

），h（x）=cos（ωx+π）（ω＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)ω=2時，把y=g（x）的圖象向右平移

π

6

個單位得到函數(shù)y=p（x）的圖象，求函數(shù)y=p（x）的圖象的對稱中心坐標；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=g（x）h（x），若f（x）的圖象與直線y=2-

3

的相鄰兩個交點之間的距離為π，求ω的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象,余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意，先求得：p（x）=4sin（2x+

π

3

），令2x+

π

3

=kπ，即可求得函數(shù)y=p（x）的圖象的對稱中心坐標；
（Ⅱ）先求得解析式f（x）=2sin（2ωx-

π

3

）-

3

，由題意T=π，可解得ω的值，令t=2x-

π

3

是x的增函數(shù)，則需y=2sint-

3

是t的增函數(shù)，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，可解得函數(shù)f（x）的單增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)ω=2時，g（x）=4sin（2x+

2π

3

），g（x-

π

6

）=4sin（2x-

π

3

+

2π

3

）=4sin（2x+

π

3

），
p（x）=4sin（2x+

π

3

），令2x+

π

3

=kπ，得x=-

π

6

+

kπ

2

，中心為（-

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈Z）；
（Ⅱ）f（x）=4sin（ωx+

2π

3

）（-cosωx）=-4[sinωx•（-

1

2

）+cosωx•

3

2

]cosωx
=2sinωxcosωx-2

3

cos²ωx=sin2ωx-

3

（1+cos2ωx）=2sin（2ωx-

π

3

）-

3

由題意，T=π，∴

2π

2ω

=π，ω=1
令t=2x-

π

3

是x的增函數(shù)，則需y=2sint-

3

是t的增函數(shù)
故2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，2kπ-

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

函數(shù)f（x）的單增區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．