【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線:,拋物線: ().
(1)若直線過拋物線的焦點,求拋物線的方程;
(2)已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點和.
①求證:線段PQ的中點坐標(biāo)為;
②求的取值范圍.
【答案】(1)(2)①見證明;②
【解析】
(1)求出拋物線C:y2=2px (p>0)的焦點坐標(biāo),代入直線l:x﹣y﹣4=0,求得p值,則拋物線C的方程可求;
(2)設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),線段PQ的中點M(x0,y0).由點P和Q關(guān)于直線l對稱,可設(shè)PQ的方程為y=﹣x+b.
①聯(lián)立直線方程與拋物線方程,由判別式大于0可得p+2b>0,分別求出P、Q的縱坐標(biāo),可得M的縱坐標(biāo).結(jié)合M(x0,y0)在直線l上,可得x0=4﹣p,由此得到線段PQ的中點坐標(biāo)為(4﹣p,﹣p);
②把M(4﹣p,﹣p)代入直線y=﹣x+b上,得到b=4﹣2p.結(jié)合p+2b>0即可求得p的取值范圍.
(1)拋物線: ()的焦點為,
由點在直線:上得,即,
所以拋物線的方程為
(2)設(shè)、,線段的中點.
因為點和關(guān)于直線對稱,所以直線垂直平分線段,
于是的方程可設(shè)為.
①由得(﹡),
因為和是拋物線上相異兩點,所以,
從而,化簡得,方程(﹡)的兩根為
,從而.
因為在直線上,所以,
因此,線段的中點坐標(biāo)為
②因為在直線上,
所以,即.
由①知,于是,所以,
即的取值范圍為.
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【題目】設(shè)橢圓的方程為,點為坐標(biāo)原點,點,的坐標(biāo)分別為,,,直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓于,兩點,交軸于點,問是否存在實數(shù)使得以為直徑的圓恒過點?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是棱AD,B1C1上的動點,設(shè)AE=λ,B1F=μ.若平面BEF與正方體的截面是五邊形,則λ+μ的取值范圍是________.
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【題目】已知直線l、m,平面α、β,下列命題正確的是 ( )
A. l∥β,lαα∥β
B. l∥β,m∥β,lα,mαα∥β
C. l∥m,lα,mβα∥β
D. l∥β,m∥β,lα,mα,l∩m=Mα∥β
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【題目】下列結(jié)論中不正確的是( )
A.若兩個平面有一個公共點,則它們有無數(shù)個公共點
B.若已知四個點不共面,則其中任意三點不共線
C.若點既在平面內(nèi),又在平面內(nèi),則與相交于,且點在上
D.任意兩條直線不能確定一個平面
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在,此時圓上一點P的位置在,圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于時,的坐標(biāo)為________.
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【題目】某城市收集并整理了該市2019年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位:℃)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.( )
已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系,則根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是
A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫
C.月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月D.最低氣溫低于0 ℃的月份有4個
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【題目】“微信運動”是手機推出的多款健康運動軟件中的一款,某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運動”,對運動10000步或以上的老師授予“運動達人”稱號,低于10000步稱為“參與者”,為了解老師們運動情況,選取了老師們在4月28日的運動數(shù)據(jù)進行分析,統(tǒng)計結(jié)果如下:
運動達人 | 參與者 | 合計 | |
男教師 | 60 | 20 | 80 |
女教師 | 40 | 20 | 60 |
合計 | 100 | 40 | 140 |
(Ⅰ)根據(jù)上表說明,能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認(rèn)為獲得“運動達人”稱號與性別有關(guān)?
(Ⅱ)從具有“運動達人”稱號的教師中,采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國第四屆“萬步有約”全國健走激勵大賽某賽區(qū)的活動,若從選取的10人中隨機抽取3人作為代表參加開幕式,設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為,寫出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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