Question

15．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，AA₁=4，且A₁C⊥底面ABCD．
（I）證明：平面ACC₁A₁⊥平面DBB₁D₁．
（Ⅱ）求直線A₁C與平面DBB₁D₁所成角．

Answer 1

分析 （I）由A₁C⊥底面ABCD得A₁C⊥BD，由菱形性質得AC⊥BD，故BD⊥平面ACC₁A₁，從而平面ACC₁A₁⊥平面DBB₁D₁．
（II）連結上下底面中心O₁O，過A₁作A₁F⊥O₁O，則A₁F⊥平面DBB₁D₁．設A₁與O₁O的交點為E，于是∠A₁EF為直線A₁C與平面DBB₁D₁所成的角．根據等邊三角形性質求出OC，OE解出∠OEC即∠A₁EF的大小．

解答 （I）證明：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵A₁C⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁C⊥BD，
又AC?平面ACC₁A₁，A₁C?平面ACC₁A₁，AC∩A₁C=C，
∴BD⊥面ACC₁A₁，而BD∈面DBB₁D₁，
∴面ACC₁A₁⊥面DBB₁D₁．
（II）解：設四棱柱上下底面中心分別是O₁、O，連接O₁O，
則四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，設O₁O與A₁C的交點為E，過A₁作A₁⊥FO₁O于F，
∵平面ACC₁A₁⊥平面DBB₁D₁，平面ACC₁A₁∩面DBB₁D₁=O₁O，A₁F⊥O₁O，A₁F?面ACC₁A₁，
∴A₁F⊥面DBB₁D₁．
∴∠A₁EF為直線A₁C與平面DBB₁D₁所成的角．
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，AA₁=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，∠A₁CA=90°，OE=$\frac{1}{2}$AA₁=2，
∴$sin∠OEC=\frac{OC}{OE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠OEC=60°．
∴∠A₁EF=∠OEC=60°．
∴直線A₁C與面DBB₁D₁所成角為60°．

點評 本題考查了面面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．