Question

6．在三棱錐D-ABC中，已知AB=BC=AD=$\sqrt{2}$，BD=AC=2，BC⊥AD，則三棱錐D-ABC外接球的表面積為（　　）

• A． 6π
• B． 12π
• C． 6$\sqrt{3}$π
• D． 6$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 利用直線平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性質(zhì)得出球心，即可求解外接球的半徑．

解答 解：∵AB=BC=AD=$\sqrt{2}$，BD=AC=2，BC⊥AD，
∴AB²+BC²=AC²，AD²+AB²=BD²，
AB⊥BC，AD⊥AB，
∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，
∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，
∵BD?面ABD，AC?面ACB；
∴BD⊥BC，AD⊥AC，
∵O為DC中點，
∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，
O 為外接球的球心，
半徑R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴三棱錐D-ABC外接球的表面積為：4π×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π，
故選：A．

點評 本題綜合考查了直線平面的垂直的判斷性質(zhì)定理，綜合運用平面知識解決空間問題的能力．