Question

19．已知函數(shù)f（x）=x（lnx-2ax）有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=xlnx-2ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-4ax．令g（x）=lnx+1-4ax，由于函數(shù)f（x）=x（lnx-2ax）有兩個極值點?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．g′（x）=$\frac{1}{x}$-4a．當a≤0時，直接驗證；當a＞0時，利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性可得：當x=$\frac{1}{4a}$時，函數(shù)g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個不同解，只需要g（$\frac{1}{4a}$）=ln$\frac{1}{4a}$＞0，解得即可．

解答 解：f（x）=xlnx-2ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-4ax．
令g（x）=lnx+1-4ax，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-4a=$\frac{1-4ax}{x}$，
當a≤0時，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個實數(shù)根，應舍去．
當a＞0時，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{4a}$．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{4a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{4a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當x=$\frac{1}{4a}$時，函數(shù)g（x）取得極大值．
當x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根，
只需g（$\frac{1}{4a}$）=ln$\frac{1}{4a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{4}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．