Question

1．設(shè)f（x）是R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，則函數(shù)$g（x）=\frac{1}{x}+f（x）$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可得，x≠0，因而 g（x）的零點(diǎn)跟 xg（x）的非零零點(diǎn)是完全一樣的．當(dāng)x＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的知識可得xg（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn)．同理可得xg（x）在（-∞，0）上也無零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$，可得x≠0，
因而 g（x）的零點(diǎn)跟 xg（x）的非零零點(diǎn)是完全一樣的，
故我們考慮 xg（x）=xf（x）+1 的零點(diǎn)．
由于當(dāng)x≠0時(shí)，$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，
①當(dāng)x＞0時(shí)，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ $f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$）＞0，
 所以，在（0，+∞）上，函數(shù)x•g（x）單調(diào)遞增函數(shù)．
又∵$\underset{lim}{x→0}$[xf（x）+1]=1，
∴在（0，+∞）上，
函數(shù) x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
因此，在（0，+∞）上，函數(shù) x•g（x）=xf（x）+1 沒有零點(diǎn)．
②當(dāng)x＜0時(shí)，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ $f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$）＜0，
故函數(shù) x•g（x）在（-∞，0）上是遞減函數(shù)，函數(shù) x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
故函數(shù) x•g（x）在（-∞，0）上無零點(diǎn)．
綜上可得，函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，屬中檔題．