Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}$，（α為參數(shù)），M是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，P點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C₂．
（1）求C₂的參數(shù)方程；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)θ=$\frac{π}{3}$與C₁的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C₂的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由P點(diǎn)滿(mǎn)足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，可得M$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$，代入曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程，可得曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程．
（2）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}$，利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得極坐標(biāo)方程．同理可得曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程．把射線(xiàn)θ=$\frac{π}{3}$分別代入上述兩個(gè)極坐標(biāo)方程可得：ρ₁=|OA|，ρ₂=|OB|．即可得出|AB|=|OB|-|OA|．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），∵P點(diǎn)滿(mǎn)足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，∴M$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$，代入曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程，可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=3cosα}\\{\frac{y}{2}=3+3sinα}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosα}\\{y=6+6sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），即為C₂的參數(shù)方程．
（2）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}$，可得普通方程：x²+（y-3）²=9，
化為極坐標(biāo)方程：ρ²-6ρsinθ=0，即ρ=6sinθ．
曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosα}\\{y=6+6sinα}\end{array}\right.$，可得普通方程：x²+（y-6）²=36，
化為極坐標(biāo)方程：ρ²-12ρsinθ，即ρ=12sinθ．
把射線(xiàn)θ=$\frac{π}{3}$分別代入上述兩個(gè)極坐標(biāo)方程可得：
ρ₁=6$sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$=|OA|，ρ₂=12sin$\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$=|OB|．
∴|AB|=|OB|-|OA|=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、坐標(biāo)變換、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．