Question

已知函數f（x）=2e^x-ax-2（a∈R）
（1）討論函數的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）先求函數的定義域，易知x∈R，然后對原函數求導，借助于函數y=2e^x的圖象，通過變換得到f′（x）=2e^x-a的圖象，解不等式得到原函數的單調區(qū)間．
（2）這是一道不等式恒成立問題，因此只需當x≥0時，f（x）_min≥0即可，再結合（1）中對函數單調性的研究，確定f（x）的最小值，則問題可解．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2e^x-a．
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
若a＞0，令f′（x）=0得x=ln

a

2

，易知
當x∈（-∞，ln

a

2

）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，ln

a

2

）上單調遞減；
當x∈（ln

a

2

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在[ln

a

2

，+∞）上單調遞增；
綜上，a≤0時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；a＞0時，f（x）在（-∞，ln

a

2

）上單調遞減，在ln

a

2

，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）注意到f（0）=0．
（1）當a≤0時，則當x∈[0，+∞）時，f（x）單調遞增，只需f（x）_min=f（0）=0，顯然成立．
（2）當a＞0時
若ln

a

2

≤0，即0＜a≤2，則當x∈[0，+∞）時，f（x）單調遞增，f（x）≥f（0）=0，符合題意．
若ln

a

2

＞0，即a＞2，則當x∈（0，ln

a

2

）時，f（x）單調遞減，又因為f（0）=0，所以此時f（x）＜0，不合題意．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題重點考查利用導數研究函數的單調性，以及不等式恒成立問題．對于此類問題在解不等式時要充分利用數形結合的思想輔助分析，進行討論；而不等式恒成立問題往往轉化為函數的最值問題，再進一步利用導數研究函數的單調性求最值．